ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ БАЗА

Процессор программно-аппаратного комплекса Prorock базируется на новом и мощном численном методе механики — методе конечно-дискретных элементов.

Метод конечно-дискретных элементов (англ. finite-discrete element method, FDEM) дает возможность моделирования процессов упругого деформирования, образования и роста трещин, фрагментации среды и механического взаимодействия обособленных элементов. Поэтому данный метод отлично подходит для решения проблем геомеханики, зачастую представляющих собой деформационные процессы, сопровождающиеся большими смещениями по трещинам, разрушением, дроблением больших участков породного массива и воздействием друг на друга отдельных блоков породы.

В методе конечно-дискретных элементов сплошная среда представляется в виде треугольных конечных элементов, соединенных четырехугольными трещинными элементами. На рисунке, приведенном ниже, изображена сетка элементов. При отсутствии напряжений в элементах трещинные элементы имеют нулевую толщину, то есть на рисунке конечные элементы уменьшены по сравнению с нормальным состоянием.

В методе конечно-дискретных элементов учет фактора времени реализован в виде центрально-разностной схемы. В соответствии с этой схемой координаты узлов элементной сетки рассчитываются после каждого шага времени следующим образом:

x_{c =} x_{p +} v *Δt

где: x_c – положение узла в пространстве в текущий момент времени; x_p – положение узла в предыдущий момент времени; v – скорость узла; Δt – временной шаг.

Скорость узла в общем случае определяется в соответствии с выражением:

v  = F*Δt/m,

в котором: F – сила, действующая на данный узел; m – треть массы треугольного (конечного) элемента.

Расчет действующей силы производится сложением сил:

F = mg + F_int + F_ext + F_c +C_v,

где: g  – ускорение свободного падения; F_int – внутренние силы; F_ext – внешние приложенные силы;  F_c– сила контактного взаимодействия;  C_v – постоянная вязкостного демпфирования.

Внутренние силы F_int  находятся сложением сил F_e , вызванных упругой деформацией конечных элементов, и сил связи , возникающих в трещинных элементах.

Силы контактного взаимодействия находятся алгоритмом расчета взаимодействия дискретных элементов.

Алгоритмически обработка взаимодействия на контактах дискретных элементов реализована в виде двух этапов: обнаружение контактов и расчет взаимодействия на контактах.

Обобщенно алгоритм обнаружения контактов можно представить в виде четырех этапов.

1. Разбивка области поиска прямоугольной сеткой. Для оптимизации расчетов размер ячейки подбирается несколько больше окружности, описанной вокруг наибольшего элемента.
2. Запись дискретных элементов в столбцы сетки.
3. Запись дискретных элементов в отдельные ячейки сетки.
4. Нахождение потенциально контактирующих элементов внутри текущей ячейки и в соседних четырех ячейках.

После нахождения контактов выполняется обработка взаимодействия на контактах, то есть расчет сил, действующих на контактах отдельных элементов. Алгоритм расчета базируется на методе штрафных функций. Данный метод основан на допущении, что контактирующие тела внедряются друг в друга, в результате чего возникают распределенные нагрузки. С глубиной внедрения тел друг относительно друга растет величина распределенных нагрузок от контактного взаимодействия. Нагрузки прямо пропорциональны величине параметра штрафа (penalty parameter).

Образование в материале трещин в методе конечно-дискретных элементов моделируется в явном виде на основе принципов нелинейной упругой механики разрушения. Четырехугольные трещинные элементы имеются на границах всех соединенных пар конечных элементов. Потенциальные траектории трещин не нуждаются в априорном задании и ограничиваются топологией конечно-элементной сети.

Изменение напряжений с увеличением смещений при сдвиге до и после достижения предельного смещения описывается полной диаграммой деформирования, изображенной на следующем рисунке.

Учёт допредельной и запредельной стадии деформирования, а также остаточной прочности является отличительной особенностью процессора Prorock. Данная зависимость определяется следующей формулой:

Константы A, B и C равны соответственно: 0,63; 1,8 и 6,0, f_s – прочность на сдвиг, f_r – остаточная прочность на сдвиг.

Прочность на сдвиг считается по критерию Кулона:

f_s  = C + σ_n tg φ.

Так же считается и остаточная прочность:

f_r  = σ_n tg φ_r .

При трещинообразовании второго типа показатель степени разрушения D определяется согласно следующему условию:

D = (s-s_p)/(s_r -s_p)

где s – текущее смещение вдоль трещинного (соединяющего) элемента, s_p и s_r – соответственно смещения при достижении прочности и в момент окончательного разрушения.

Можно заметить, что при s = s_p показатель степени разрушения D = 0 и f (D) = 1, а при s = s_r  показатель D = 1 и f(D) = 0.

При допредельном деформировании напряжения связи  рассчитываются в соответствии с выражением:

τ = (2s/s_p — (s/s_p)²)*f_s.

При деформировании под растяжением напряжения считаются аналогичным образом без остаточного напряжения.

ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ИНФОРМАЦИЯ ПО ТЕОРИИ В НАУЧНЫХ РАБОТАХ

1. Ильясов Б.Т. Исследование кинетики деформаций массива горных пород с использованием метода конечно-дискретных элементов. – Дисс… к.т.н. – 2016. – 138 с.

2. Ильясов Б.Т. Прогнозирование деформаций массивов горных пород с применением ПК «PROROCK» // Проблемы недропользования. – 2018. –№1. С. 39-51.

3. Munjiza A. The combined finite-discrete element method. – 2004.

КЛЮЧЕВЫЕ ОСОБЕННОСТИ

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ

ПРИМЕНЕНИЕ

РАССКАЖИТЕ О НАС: